Ks. Anzelm Szweykowski był synem Stanisława i Urszuli z Majkowskich. Urodził się 17 kwietnia 1773 r. Po wczesnej śmierci rodziców jego wychowaniem i edukacją zajął się jego starszy brat ks. Marcin (1752–1801), pleban w Kadzidle i dziekan ostrołęcki, przedstawiony na sufragana przez biskupa płockiego Onufrego Kajetana Szembeka, ale odrzucony przez władze pruskie.

Anzelm początkowo uczył się w Łomży, w szkole prowadzonej przez pijarów, do których po jej ukończeniu wstąpił 26 lipca 1789 r., przyjmując imię zakonne Wojciech od św. Marcina.

Już w kolegium pijarskim w Łomży przełożeni zauważyli, że Wojciech odznaczał się nie tylko pobożnością i pilnością, ale także wykazywał duże zdolności intelektualne, dlatego dalszą jego karierę widzieli w zawodzie nauczycielskim. Po odbyciu nowicjatu w Drohiczynie został skierowany na dalsze studia w Szczuczynie Mazowieckim i Łomży (1792–1794).

Od 1794 r. prowadził lekcje w niższych klasach warszawskiego Collegium Regium, a po dwóch latach awansował na nauczyciela w klasach średnich Collegium Nobilium, założonego w 1740 r. przez ks. Stanisława Konarskiego. Święcenia kapłańskie otrzymał w katedrze warszawskiej w 1796 r. Miał wrodzoną delikatność, łagodny charakter, umiłowanie wiedzy w naukach zarówno ścisłych, jak i humanistycznych. Od jesieni 1795 r. przez pięć lat uczył w kolegium łomżyńskim fizyki, matematyki i wymowy. W 1802 r. awansował na stanowisko prefekta oraz zastępcę promotora w konwikcie seminarium nauczycielskiego.

Wtedy, za zgodą władz pruskich został wysłany na dalsze studia do Berlina, bo od 1793 r. północne Mazowsze wchodziło w skład zaboru pruskiego i władze oświatowe pruskie chciały zreorganizować dawne szkoły polskie na wzór pruski, dlatego przygotowywały do tej pracy odpowiednie kadry. W uniwersytecie berlińskim Szweykowski studiował język i literaturę niemiecką. Jak pisał Lech Słowiński, dwuletni pobyt w tym mieście dał mu bardzo wiele. Opanował dobrze język i literaturę niemiecką, poznał lepiej klasyków starożytnych, poszerzył znacznie swoje wiadomości z zakresu filozofii, odwiedził nadto niektóre wybijające się szkoły na prowincjach. Podczas tego pobytu, za zgodą władz zakonnych, opuścił w 1804 r. zgromadzenie, przechodząc do pracy wśród kleru diecezjalnego. Być może powodem tej decyzji było i to, że ówczesne władze pruskie niechętnym okiem spoglądały na zakon pijarów, który mimo trudnych warunków politycznych utrzymywał patriotyczny kierunek wychowania młodzieży w swoich szkołach.

Po powrocie do kraju w 1804 r. przybył do Płocka i objął najpierw stanowisko profesora wymowy w miejscowym gimnazjum akademickim, a następnie, za czasów Księstwa Warszawskiego, w Szkole Departamentowej (dzisiejsze liceum im. Małachowskiego). Poza wymową uczył także innych przedmiotów. Podczas czteroletniego pobytu w Płocku bacznie obserwował, co działo się w szkolnictwie, zwłaszcza płockim Gimnazjum Akademickim, gdy władze pruskie usuwały ze szkoły nauczycieli polskich, wprowadzając na ich miejsce nauczycieli niemieckich.

Oprócz pracy w szkole zasłynął w mieście z mów patriotycznych, wygłaszanych przeważnie w katedrze. Był to czas wojen napoleońskich na Mazowszu, bowiem w grudniu 1806 r. oddziały francuskie wraz z polskimi wyzwoliły Płock i wówczas wielu starszych uczniów szkoły płockiej zaciągnęło się w szeregi wojska polskiego, aby walczyć w obronie niepodległości. Wkraczające wojska francuskie witał z wielkim entuzjazmem, widząc w tym wydarzeniu wielką historyczną szansę dla naszego narodu. Apelował też do żołnierzy polskich o konieczną w takich okolicznościach ofiarę krwi, o świętą powinność obrony odzyskanej co dopiero wolności.

Równie patriotyczne kazanie wygłosił w katedrze płockiej 3 maja 1807 r. z okazji rocznicy uchwalenia konstytucji majowej 1791 r. Wskazywał i przewidywał, że dla wywalczenia wolności dla narodu potrzebne będą ofiary z ludzkiego życia, także Mazowszan, złożone na ołtarzu ojczyzny. Ofiary i cierpienia nasze, jakie w walce choćby najszczęśliwszej są przecież nieuchronne, będą obfitym zasiewem przyszłej pomyślności. Im więcej teraz zasiejemy, tym więcej zbierać potem będziemy. Cierpienia nasze są przemijające, owoce ich będą nieśmiertelne. W patetycznych słowach z katedralnej ambony wołał: Polacy! Miejcie duszę Małachowskich, gorliwość Wybickich, męstwo i stałość wsławionych bohaterów.

Podczas pracy w płockim gimnazjum przygotował do druku cenne dzieło z dziedziny pedagogiki, wydane w Warszawie w 1808 r. "Uwagi nad wyższymi szkołami polskimi w porównaniu do niemieckich". Dzieło to posłużyło Szweykowskiemu do reorganizacji szkolnictwa polskiego w okresie Księstwa Warszawskiego i Królestwa Polskiego.

Gdy odszedł z Płocka, Izba Edukacyjna powierzyła mu organizację Szkoły Departamentowej w Sejnach koło Augustowa, gdzie został jej pierwszym rektorem - Rector Licei Sejnensis. W następnych latach otrzymał nowe godności i tytuły. W 1810 r. otrzymał od biskupa płockiego Tomasza Ostaszewskiego kanonię katedralną płocką. W 1811 r. powołany został na członka Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych i mianowany profesorem literatury polskiej w Liceum Warszawskim.

7 listopada 1816 r. władze Królestwa Polskiego powołały do życia Uniwersytet Warszawski. W dużym stopniu przyczynił się do tego ks. Anzelm Szweykowski, wydając 19 listopada 1816 r. projekt do urządzenia hierarchii akademickiej w krajach Księstwa Warszawskiego ze wstępem Potockiego. Według tego projektu uczelnia warszawska miała dostarczać w najbliższym czasie wysoko wykwalifikowanych kadr dla odrobienia opóźnień i modernizacji młodego państwa. Królewski uniwersytet w Warszawie miał przygotować rzesze urzędników, lekarzy, nauczycieli, prawników, ludzi, którzy zdolni byliby podjąć działalność polityczną i kulturalną. Rektor uniwersytetu, wybierany na czteroletnią kadencję, miał być najwyższą władzą, zaś rada ogólna z ks. Stanisławem Staszicem, biskupem płockim Adamem Prażmowskim i ks. Anzelmem Szweykowskim czuwała nad sprawami jego funkcjonowania.

18 października 1817 r. uzyskał nominację na profesora teologii pastoralnej, katechetyki i wymowy kościelnej na Wydziale Teologicznym Uniwersytetu Warszawskiego, na którym też pełnił funkcje prodziekana, a od 21 lutego 1818 r. dziekana. W tym roku 2 marca 1818 r. został wybrany pierwszym rektorem Uniwersytetu Warszawskiego, urząd ten pełnił do 1831 r.

Uroczyste objęcie funkcji rektora nastąpiło 14 maja 1818 r. Z tej właśnie okazji zostały wybite pamiątkowe medale (7 złotych, 33 srebrnych, 198 miedzianych). Zostały one wręczone wybitnym osobowościom w kraju i za granicą, a także niektórym uniwersytetom zagranicznym. Medale takie otrzymały niektóre szkoły wojewódzkie. Być może taki medal trafił i do Szkoły Wojewódzkiej w Płocku.

Jak twierdzą niektórzy badacze, na nominację Szwejkowskiego na stanowisko rektora miał wpływ Adam Prażmowski, ówczesny koadiutor biskupa płockiego Tomasza Ostaszewskiego. Po przekształceniu Wydziału Teologicznego w Seminarium Główne Szweykowski dalej prowadził w nim wykłady, nawet po przejściu w 1833 r. na emeryturę.

Ciekawe były poglądy ks. Szweykowskiego na stan duchowny. Jego pragnieniem było, aby duchowni byli ludźmi światłymi, mądrymi, kroczącymi z postępem. W swojej dysertacji doktorskiej „O wzajemnej potrzebie łączenia nauk teologicznych z innymi”

 podkreślał, że stan duchowny z natury swojej powinien być stanem umiejętności i doskonałości we wszystkim względzie, aby się sprawdziły słowa "vos estis sal terrae" (wy jesteście solą ziemi). Kto nie potrafi wykazać mądrości w prawdach religijnych, ten nie jest dobrym nauczycielem duchownym. Jako wzorce kapłańskie wskazywał na Hozjusza, Tomickiego, Maciejowskiego, Kromera i innych.

Jako rektor, był zwolennikiem autonomii wyższych uczelni. W mowie inauguracyjnej 14 maja 1818 r., kiedy obejmował urząd powiedział: - Uniwersytet powinien w postępowaniu naukowym być zupełnie wolnym i niepodległym. Ta wolność miała dotyczyć także profesorów. Niech uczeni w badaniach swoich będą wolni, jak jest wolną z daru nieba myśl ludzka. Cenił bardzo patriotyzm i pracę dla narodu.

Ks. Szwejkowski mieszkał w Warszawie, ale utrzymywał serdeczne kontakty z Płockiem. Zmarł w stolicy 5 sierpnia 1838 r. Żył 65 lat, w tym 42 lata w kapłaństwie. Wychowanek Uniwersytetu Franciszek Salezy Dmochowski tak pisał o swoim nauczycielu: "Gruntowna nauka, prawość, szlachetność, wytrawny rozsądek, tak w postępowaniu z akademicką młodzieżą, pobożność, a przy tym talent wymowy, wszystko to łączy się w tym mężu, żeby wystawić wzór duchownego, pedagoga i pisarza".